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算数の問題 [雑感]

4つの整数があり、うち2つの値の和の最大が187で最小が137。
差の最大が40で最小が10である。4つの整数は何か?

関係性を表にするとこんな感じ。
   最大 最小
 和 187 137
 差 40  10
大きい値から順にA、B、C、Dとすると、以下が容易にわかる。
A+B=187
C+D=137
A-D=40
差の最小である10はどうか。
最小なんだから隣り合う値の引き算である以下3つが該当する。
A-B=10 ⇒A+Bが187と奇数なのに、差が偶数になることはない。
B-C=10
C-D=10 ⇒C+Dが137と奇数なのに、差が偶数になることはない。
よって、
B-C=10で決定。

A+B=187、C+D=137から、
A+B+C+D=324
平均値は、(A+B+C+D)/4=81
A-D=40なので、
A=81+20=101
D=81-20=61
A+B=187なので、
B=187-A=187-101=86
C+D=137なので、
C=137-D=137-61=76
B-C=10の条件に合うか?
86-76=10で合った。

まとめると、以下の通り。
A=101
B=86
C=76
D=61

しっくりと来ないのは、平均値から最大差の40を2で割った20を
足したものをAとし、引いたものをDとしたところ。
絶対的な計算ではなくて、一つの例を示しただけ。
40の差とするために10足して30引いてもいいのだから。
A~Dの値の正解は間違いないのだが、偶然導き出した正解だ。
算数は考え方が重要なので、部分点しかもらえない。
はて、どうやって正解を導き出せばよいのか。。。
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コメント 2

job

たまたま通りかかったので。
見えている条件でDの等式を作り
見えていない条件でDの範囲を絞るのが良いと思います。

A+B=187
C+D=137
A-D=40

から
A = D + 40          ①
B = C + 10 = 147 - D  ②
C = 137 - D          ③

最少の差が10なので、BとC以外は11以上の差があります
(ここがポイントか?)

よって
B + 11 ≦ A
D + 11 ≦ C

つまり
147 - D + 11 ≦ D + 40
⇒ 118 ≦ 2D
⇒ 59 ≦ D

D + 11 ≦ 137 - D
⇒ 2D ≦ 126
⇒ D ≦ 63

なので 59 ≦ D ≦ 63

この範囲のDは全て条件を満たします。
(①,②,③式からA,B,Cを実際に計算してみると全て条件を満たしていることを確認できます。)

by job (2016-02-29 21:10) 

トリサラ

コメントありがとうございます。
Dの範囲を絞るという考え方、よく理解できました。
この問題は中学生の数学だったと記憶しています。
昔数学が得意だった私ですが、最近は記憶力も思考力も低下してきてとても残念ですが、こうやって訓練して昔の栄光を思い出してみるのもいいですね。年をとるのはいやなもんです。

by トリサラ (2016-03-04 09:24) 

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